飛越顛峰穿幽谷
----應用數學大師歐拉
歐拉----人類歷史上最偉大的應用數學家,結合數學與生活的第一人。
在他以前,數學被認為是一種奢侈的頭腦遊戲,數學不能叫牛生產牛奶,數學不能讓小麥生長,數學有什麼用呢?
歐拉用他的一生回答這個問題:
他用數學設計輪船號----啟動了波浪動力學、他用數學研究耳朵----瞭解耳膜與聽覺、他用數學來測量----整合了平面測量學、他用數學算渠道斷面----開啟了應用流體力學、他用數學算保險、精準貨幣----產生了訐量經濟學、他用數學算老鷹的飛翔----建立了航空動力學......
今天數學課本函數用f(x),半徑用r,自然對數用e,總和用.....這些符號都是他定的。
世界每一本高等數學裡都有歐拉微分方程式解,以及"歐拉公式":eix=cosx+isinx
十八世紀以後,每一位數學大師都聲稱受到歐拉的影響,每一個數學分支都可以看到歐拉的影子,歐拉的影響力是這樣的大,卻很少人知道歐拉象一隻鳥,終生舉著數學與信仰的雙翼在飛翔。
輪船之謎
一七二七年,法國巴黎科學院燈火通明,一批科學家熱烈討論著歐洲科學競賽裡的一篇作品:
"這實在是件奇怪的事,一 個在神學院裡專攻古希伯來文的學生,竟然會提出一套數學解法----由海浪的運動,計算出一艘大輪船的結構設計?"
"更奇怪的是,這個名叫歐拉的年輕人,是來自群山之國瑞士。他自己坦白說他一生沒有看過海,更沒見過輪船,只看過瑞士的泛湖小舟。他這種超強的數學解析能力,實在是百年難得一見。"另一位元科學家介面。
經過一番討論,主席裁決:"如果我們不把科學競賽的首獎頒給他,就是太沒有眼光了。但是以輪船設計獲得首獎的,是一個根本沒有看過輪船的人,這消息如果傳了出去,我們一定會成為笑柄。這樣吧,今年沒有第一名,只有佳作,然後把佳作獎頒佈給歐拉。希望這人知難而退,以後不要再給我們製造這種難題了。"
但是,歐拉顯然不大合作,隔年又提出耳朵內的薄膜對於聲波的共振數學,他又沒看過耳朵薄膜。受不了他的洋溢天才,巴黎科學院只好把首獎頒佈給他。以後的十二年裡,他的數學怪招又連得十二次首獎。
牧師爸爸
一七零七年四月十五日,歐拉生於瑞士的巴塞爾。他的父親是巴塞爾郊外一間小教會的牧師。歐拉從小成績就很好,十四歲進大學。當時的中小學還沒有數學課程,歐拉的父親是位業餘數學家,就親自教歐拉數學。
歐拉在神學院裡遇到一位影響他一生的好老師伯努利。這位法國老師是因為宗教大迫害,基督徒時刻要面臨死亡的威協,舉家逃到信仰自由的瑞士。伯努利說:"在人類的思考學問裡,最接近上帝的,不是神學,而是數學。因為數學家追求最高的精確、最合理的邏輯,而且會發現這個奇妙的宇宙,竟是經得起數學家一再推敲考證的物件......學數學的人會遇到一個強烈吸引他們的核心,使他們象拋物線般地被吸引回來,以面對宇宙裡最基本的存在。"伯努利的家庭出了好多數學教授,又都是基督徒,所以被稱為數學界的"神聖支派"。
伯努利的數學課很特別:不教任何數學的內容,他只給問題,而且是非常難的問題。學生必須自己去看書找資料,或自己想辦法。下星期學生交答案,老師討論正確答案後,再給新的題目。在伯努利的課程裡,數學是沒有課本的。以歐拉的數學能力,要應付這種教學方式,仍然覺得"非常吃力,只有加緊勤奮用功",才能趕上老師沒有範圍的教法。
三年下來,仍留下的學生只剩下歐拉與老師的兒子但以理.伯努利,這兩個同學成為一生的好朋友。
但以理.伯努利在流體動力學領域中非常有名,是每一個念土木工程、化學工程的學生所知道的。但以理.伯努利又被稱為"數學物理之父"。
數學啊!迷人
一七二四年,勤奮的天才歐拉,取得巴塞爾大學神學碩士學位。歐拉的父親希望兒子回到教會擔任傳道人。當時整個歐洲大陸,沒有需要數學為專職的工作,以天下之大,竟沒有歐拉的容身之處。
有一天,伯努利老師去拜訪歐拉的父親,因為"歐拉是天生的數學家",老師看出歐拉會成為數學界最明亮的一顆彗星,"但是他受的神學教育怎麼辦?"父親問道。伯努利回答:"數學不會抖落他身上任何的敬虔信仰,而且你看著吧,有一天他會成為數學界的神學家!"
歐拉繼續留在巴塞爾大學。當時巴塞爾是醫學與藥學的重鎮,興趣廣泛的歐拉又去旁聽生理醫學的課。他的數學能力碰上任何學科,就會象植物吸水一樣,重新變化產生一個嶄新的東西。他提出耳膜結構與聲波的共振,並用數學去證明,這是醫學教授辦不到的事,數學碰到任何學科,就會帶來革命性的改革,這就是應用數學迷人的地方。
血腥年代
一七二七年俄國在女皇凱撒琳一世的支援下,成立科學院,向歐洲招募傑出的科學家到俄國任教。歐拉也被聘請前往。誰知等他到達俄國首都聖彼得堡時,迎接他的不是科學教育大臣,而是秘密警察。
原來凱撒琳一世駕崩,俄國進入長達二十年的血腥內戰,新任沙皇殘殺異已,貴族之間爭權奪利。歐拉期待的一批等著他教育的學生,完全消失。他不斷看到有人被流放到西伯利亞,異議人士被挂在絞繩上。他原來被聘任的職位沒有了,淪落到海軍部當一名技術員。
當時有很多人逃離俄國,俄國人也極端敵視外國人,歐拉卻留了下來。歷史上並沒有任何線索可供我們判斷他初期選擇留下來的原因,但是有一件事情是可確定的:歐拉在秘密警察的監視下,在聖彼得堡持續研究他的數學達十五年之久。
歐拉在這段時間寫成的作品,日後由瑞士政府集結成歐拉全集,足足有一百巨冊。這十五年的苦難環境,反而為他隔絕出一個沒有社交、沒有會議、沒有世俗應酬的讀書天堂,造就他成為人類歷史上最多產的數學家,並博得"數學界之棟梁"的美譽。
歐拉後來寫道:"數學家就是藝術家,像是米開朗基羅躺在教堂的天花板下,以無盡的熱情,一筆、一筆地描繪出最精確的圖畫。......什麼是數學?數學是上帝花園中精選的百合花。"
一七三三年,歐拉與畫家格塞爾的女兒凱瑟琳結婚。格塞爾也是瑞士人,與歐拉同樣是身陷鐵幕的異鄉人。歐拉因為看不見和平的契機,而且他的朋友已大都逃出俄國,所以他婚後終於決定要逃亡。沒想到行動前發現妻子懷孕了,愛家的歐拉只好暫緩逃亡計劃,隔年逃亡前又發現妻子懷孕,只好再度留下來。凱瑟琳總共為他生了十三個孩子呢!
天才老爹
歐拉最有趣的是可以一面抱小孩,一面跟大孩子說故事,還一面思考他的數學。他的八百多篇數學研究報告,有好多篇原稿是寫在孩子吃飯的圍兜上、給孩子擦嘴巴的紙巾上......他這種隨時隨處可以解數學的能力,與他優秀的記憶力有關、
歐拉的長子後來回憶道:
"父親為我們念書,我們覺得太好聽了,請父親再念一遍。我仍然記得,父親是把書本合起來,從書本的第一行講到最後一行......父親還背了許多數學公式與複雜的數學計算。在父親的身上,我看到數學不只需要理解,也需要記憶。"
歐拉天性喜歡小孩,他為小孩設計了許多數學遊戲;每天晚上把兒女聚在一起,對他們講一篇數學,再為他們一一禱告。
一七四零年,俄國殘暴的沙皇死後,俄國逐漸恢復和平。歐拉的數學名聲已經傳遍歐陸,普魯士國王腓特烈大帝特聘他為宮廷數學家,並兼任公主安哈特----笛所的老師。
幾年後他寫了一本非常著名的青少年書籍《寫給一個德國公主的信》,論到物理、數學、文學與信仰。書中寫道:
"任何抽象的思考,或是一般性的想法,離開文字都無法存在。文字的存在不只是為了人與人 溝通,也是為了幫助人對真理有更深的耕耘。有人聲稱真理來自證據,我卻認為證據沒有文字化,人還是不認識真理。所以在新約聖經約翰福音的開始,第一句話就是'太初有道',這是一開始,上帝就將他自己,以文字的方式來表達那最核心的真理。"
負數存在嗎?
歐拉對信仰的持守,使得德國高等批判主義分子對他攻擊愈來愈厲害,腓特烈大帝對他也愈來愈疏遠。
當時的哲學家流行一種自命不凡的聰明嘴臉,純樸溫和的歐拉顯然與他們格格不入。一七六六年著名的哲學家休謨來到德國。他的無神論受到盛大的歡迎,當時起來與他力辯的,竟是那平常不太愛表現的歐拉。歐拉用數學來辯明真理:
"你知道什麼是 嗎?開根號的-1,既不等於0,也不大於0,更不小於0。那你說這種東西,在自然界不存在的東西,所以 根本沒有意義,所以數學裡不該有 !
但是你錯了。如果沒有開根號的負數,就不可能把12分成兩部分,使其相乘等於40。這兩部分就是6+ 與6- 。
有太多自然界找不著的,卻深深存在我們的意識裡。再舉一個例子:0減去2等於多少?等於-2。在自然界裡你能找到-2嗎?我一生研究數學,為數學著迷,數學給我最佳邏輯,但是我至今不懂什麼是-2的基本意義。
好吧,你說無法證明存在的就不存在!但是我告訴你,數學裡如果沒有-2,我們的數學就無法計算。如果-2不存在, 不存在,數學就不存在。因此,即使無法用物質去證明上帝的存在,上帝仍然存在人的心裡。"
唯一的解
為這一場辨論,歐拉失去了他的工作。一七六六年歐拉合家返回聖彼得堡。不久,著名的哲學家狄德羅到俄國來宣傳無神論,他編過法國百科全書,號稱自己無所不知,與他在宮廷辨論的又是歐拉。歐拉只用一句話,就封住這位哲學家的口。歐拉說:
"先生,因為(a+b)n/n=x,所以上帝存在,對不對?"
狄德羅答不出來,羞愧地離開俄國。無神論的錯誤,是用一錯誤的前提去證明上帝是否存在----如同用無窮多組可能的(a+b)n/n=x,去證明惟一存在的上帝。
眼盲心不盲
歐拉因為讀書太用功了,在二十九歲時一眼失去視力,六十歲時另一眼也失去視力,成為全盲。瞎眼的歐拉繼續演算他的數學。一七七一年聖彼得堡大火,歐拉的家與財產付之一炬。當時,瞎眼的歐拉沒有辦法逃出來,有一個僕人沖入火場把他背出來。他的學生聞訊立刻趕去,把老師一生的作品搶救出來。
一七七六年陪他歷經一生患難的妻子辭世,歐拉逝於一七八三年九月十八日,遺言:"只有對上帝的信心,陪我走過這些苦難的日子。"
伯努利說得對,歐拉不只是數學家,也是一位神學家。
本文採至張文亮教授的《我看到大山小山在跳舞》一
科學大師的求學 、戀愛與理念之(三)。